«El éxito no es para los que piensan que pueden hacer algo, sino para los que lo hacen». - Euclides

La historia de las matemáticas cuenta con grandes nombres a lo largo de los siglos: Pitágoras, Tales, Newton, Arquímedes o Euclides; este último, el gran matemático de la antigüedad, se dedicó a reunir todos los conocimientos de su tiempo en un libro denominado Elementos.

Asimismo, sentó las bases de las matemáticas tal y como las aprendemos en la actualidad.

Trigonometría, razonamiento sobre la álgebra, ecuaciones, fracciones, logaritmos y demás son temas de matemáticas que estuvieron marcados por determinados descubrimientos de la antigüedad.

Por mucho tiempo, los axiomas euclidianos fueron una base de conocimientos incuestionable sobre las matemáticas, especialmente respecto al área de la geometría. Sin embargo, hace algunos siglos surgieron nuevos planteamientos que no se ajustaban a las propuestas del pensador griego, una parte de esta disciplina que recibió el apellido de «no euclidiana». Esta se basa, principalmente, en el último de los cinco axiomas euclidianos, acerca del que te hablaremos más adelante.

Según el Informe Pisa de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico, los alumnos chilenos y chilenas suelen obtener malos resultados en las pruebas de matemáticas. De hecho, de acuerdo a los resultados del año 2018, Chile solo alcanzó a obtener 417 puntos en promedio en esta disciplina, muy por debajo del promedio de la OCDE, que llega a los 489. Esto significa que nuestro país se encuentra al mismo nivel de países como Catar, Tailandia, Kazajstán, Moldavia, Azerbaiyán y Uruguay, compartiendo justo a este último, a pesar de no ser los mejores resultados, el liderazgo en la región latinoamericana. De esta manera, Chile se ubica por sobre otros 18 naciones que son parte de esta organización internacional, aunque lo adelantan otros 53 países con mejores resultados.

Si no fuera por los estudios matemáticos, sus cálculos, fórmulas, reglas, teoremas, postulados, etc., sería imposible construir hasta la casa más simple o los más altos rascacielos que forman parte de la geografía urbana que conocemos actualmente. Además, tampoco sería posible estudiar los sonidos más armoniosos que podemos disfrutar en la música, puesto que estos se encuentran elaborado gracias a relaciones matemáticas. De hecho, el mismo arte en general tal como lo conocemos hoy sería muy distinto, puesto que, en las obras, tanto de esculturas como pictóricas, fotográficas o cinematográficas, entre muchos otras, están creadas en base a figuras geométricas, fórmulas químicas, mediciones de ángulos, etc. Y, por último, no podríamos estarnos comunicando a través de los medios que utilizamos hoy en día, como este computador e Internet, porque las matemáticas son una de las principales bases sobre las que se erige la informática.

El axioma euclidiano, la división euclidiana, la geometría euclidiana, el algoritmo de Euclides... ¿Quieres progresar descubriendo la historia de las matemáticas a través de los descubrimientos del científico?

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La vida del matemático Euclides

Al igual que la historia de sus predecesores, Pitágoras y Tales, la historia de Euclides tampoco está muy bien documentada. Solo se han encontrado unos determinados escritos que datan de varios años después de su muerte y que permiten hacerse una ligera idea de lo que pudo ser la carrera del pensador.

Sin embargo, fue uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad, aunque sus planteamientos distan mucho de ser originales. Más bien, se habla que este importante matemático reunió gran parte de los conocimientos que se tenían a su fecha acerca de los números, los cálculos y la geometrías.

Nacido en Atenas alrededor del 330 a.C., Euclides enseñó en Egipto, en la bella ciudad de Alejandría. Durante el reinado del rey Ptolomeo I, Euclides frecuentó los pasillos del Museo, un verdadero centro intelectual de Alejandría.

Euclides: un genio matemático.
Este genio marcó la historia de las matemáticas.

A diferencia de sus predecesores, Euclides no creó una escuela de matemáticas. Sin embargo, el científico ciertamente tuvo que tener varios estudiantes y discípulos a su lado para enseñarles todo el conocimiento que poseía, pero también para ayudarlo en sus experimentos.  A pesar de que no ha sido posible encontrar mucha información acerca de la vida de este importante geómetra, algunos historiadores e historiadoras señalan que nació en Tirio y se trasladó a vivir a la ciudad de Damasco, además de haber sido discípulo de Platón, en cuya academia se habría formado, de acuerdo a lo planteado por el antiguo filósofo, Proclo de Licia. El resto de información que se tiene acerca de él, solo son leyendas.

Una de las leyendas más conocidas acerca de Euclides tiene que con una pequeña moneda que este entregó a uno de sus discípulos cuando le preguntó qué había aprendido de su investigación matemática y para qué serviría todo lo que planteaba. Al maestro que enseñaba en Alejandría le pareció una pregunta fuera de lugar, especialmente porque dejaba ver una especie de cuestionamiento hacia su trabajo y hacia la importancia de la disciplina matematica. El «padre de la geometría», como algunos lo han denominado, no buscaba dinero cuando se adentraba en los misterios matemáticos. A pesar de las grandes fortunas, él prefirió alimentar su cerebro con fórmulas y figuras de todo tipo.

Euclides destacó por su obra titulada Elementos, que habría escrito alrededor del 300 a.C. Esta obra, que constituyó un gran éxito de ayer y hoy, fue el segundo libro más impreso después de la Biblia tras la invención de la imprenta en el siglo XV.

Elementos, dividida en 13 libros, se centra principalmente en la geometría plana y la aritmética. Triángulos, rectas paralelas, círculos... Euclides hace demostraciones de teoremas (incluido el teorema de Pitágoras) e introduce las nociones de MCD (máximo común divisor) y las restas sucesivas, también denominadas «división euclidiana».

El conocimiento de Euclides se basó en el saber ya adquirido por los grandes matemáticos de la Antigüedad. Una de las características principales de la obra del geómetra griego recae en su capacidad para darle estructura a un contenido que hasta el momento no se encontraba fuertemente sistematizado. Lo que hizo, en difinitiva, fue darle un orden a un montón de nociones que, mayormente, ya existían, lo que le permitió demostrar diversos resultados matematicos, dando una mayor visibilización a los principios por los que se rige el razomiento de este ámbito.

El Louvre de noche
Los conocimientos matemáticas, especialmente de la geometría, son muy esenciales en el desarrollo de la arquitectura.

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En ese momento, la ciencia circunnavegaba Grecia e influyó en muchos científicos. Los descubrimientos de Euclides y sus contemporáneos siguieron inspirando a la ciencia mucho después de su supuesta muerte en el año 265 a.C. en Alejandría. En efecto, los Elementos del experto griego en matemáticas ha sido más de mil veces editado y ha influido y servido de base para el desarrollo de teorías de científicos tan importantes para Occidente como Nicolas Copérnico, Galileo Galilei, Johannes Kepler e Isaac Newton, quienes se dedicaron a desarrollar sus propuestas y trabajos luego de haber estudiado esta famosa obra, que además fue de gran relevancia en los estudios físicos y astronómicos.

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El libro de matemáticas de Euclides: Elementos

Aunque escribió otras obras, Elementos es el libro principal de Euclides. Un gran éxito científico en el que el matemático recogió todas las demostraciones de conocimiento geométrico de la que tenía conocimiento. Son 131 definiciones las que se incluyen en sus 13 volúmenes, con 5 postulados claves o axiomas que buscaban no dejar ningún cabo suelto. Entre las páginas de esta obra, sobre la que solo conocemos gracias a las múltiples copias que se han hecho, encontramos 5 nociones comunes y 465 proposiciones.

Los primeros seis libros de Elementos tratan sobre geometría plana. Encontrarás datos sobre triángulos, líneas paralelas, el teorema de Pitágoras, figuras planas, propiedades del círculo (y la presencia de figuras rectilíneas en un círculo), la construcción del pentágono o las proporciones entre magnitudes. Pero el más conocido de estos 13 volúmenes es el Libro I, en el que están plasmados los cinco postulados que te mencionamos anteriormente.

Estos cinco planteamientos, que veremos en un apartado de este mismo artículo mas adelante, se basaban en el pensamiento euclidiano que establecía la posibilidad de construir figuras geométricas solamente utilizando una regla y un compás en un plano. De esta manera, hablamos de geometría euclidiana cada vez que se comprueba que un plano cumple con los 5 axiomas propuestos por el matemático griego.

 

Los descubrimientos matemáticos de Euclides.
Los documentos de Euclides son verdaderos objetos históricos.

Estos primeros libros permiten establecer las bases de la geometría recordando las características de las figuras y aplicándolas mediante demostraciones.

Los siguientes tres libros ya no tratan sobre la geometría plana sino sobre la aritmética. Euclides habló sobre números primos, la construcción del máximo común divisor de los números enteros común a dos o más enteros, números en progresión geométrica y la construcción de números perfectos.

Asimismo, en estos libros, el científico introdujo el procedimiento de las repetidas restas sucesivas, también llamadas división euclidiana.

El décimo libro se basó en las cantidades irracionales.

Los tres últimos libros están dedicados a la geometría en el espacio. Se podrá encontrar la construcción de objetos tales como la esfera, los sólidos regulares, la pirámide, el cubo, el octaedro, el dodecaedro, el icosaedro, etc.

Posteriormente, tras la edición de Euclides, se incorporaron otros libros, escritos por nuevos matemáticos que añadieron capítulos sobre poliedros regulares.

Todos los libros de Elementos sientan las bases de las matemáticas, que todavía se enseñan en la actualidad. La geometría plana, la geometría del espacio o la aritmética forman parte de los cursos de matemáticas que se imparten en la universidad.

Elementos se convirtió en una verdadera biblia de matemáticas. Durante años, muchos han considerado este libro como LA referencia del mundo matemático antes de ser cuestionado nuevamente unos pocos siglos después. Toda la información proporcionada en Elementos es una especie de fotografía de la representación del mundo físico de la época.

¿En qué consiste la división euclidiana?

Dentro del gran capítulo de la aritmética, la división euclidiana es ciertamente una de las habilidades matemáticas que nos enseñan antes. Simplemente, se trata de la división que nos enseñan cuando estamos en tercero o cuarto de educación básica.

También se conoce como división completa y está compuesta por dos enteros naturales denominados dividendo y divisor, así como otros dos enteros: el cociente y el resto.

La división euclidiana.
Ahora todo el mundo sabe hacer una división fácilmente.

Realizar una división euclidiana de un número A (el dividendo) entre un número B (el divisor), permite encontrar el cociente entero, es decir, el número entero que obtenemos al final de la división y el resto, es decir, la parte del dividendo que ya no se puede dividir más.

Si crees que te faltan conocimientos, contrata a tu profesor de matematicas.

Para entender esto mejor te dejamos aquí un ejemplo:

Con un dividendo de 25, dividido entre 4 (el divisor), el cociente de enteros es 6 ya que 6 x 4 = 24. Nos sobra 1. Por lo tanto, el número 1 es el resto. Para hacer esto, tratamos de encontrar cuántas veces tenemos que multiplicar el divisor (el número 4) para obtener el dividendo (el número 25).

La representación de la división se realiza con el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha. El resto se sitúa por debajo del dividendo, mientras que el cociente completo aparece debajo del divisor.

Para saber si se ha terminado la división, debes estar seguro de que el resto ya no se puede dividir. Por lo tanto, debe ser más pequeño que el divisor.

Asimismo, puede ser que el resto sea cero. Entonces decimos que A es un múltiplo de B.

La división euclidiana forma parte de los clases elementales, sin embargo, puede resultar mucho más complicada con decimales u otros métodos.

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¿Qué son los axiomas matemáticos?

Euclides, en su libro Elementos, también nos enseña los famosos axiomas: proposiciones matemáticas que son obvias. A partir de esta definición, podemos entender que en el contexto matemático, se conoce como «axioma» a cualquier regla matemática lógica y elemental.

La palabra axioma proviene del griego y significa «lo que parece justo», una palabra que se deriva de axióö, un verbo del griego que significa «yo estimo justo», el que, a su vez, proviene de axios, que significa «digno».

Escalera desde abajo
Los axiomas son esenciales para el conocimiento, ya que son las bases incuestionables sobre las que descansan los peldaños del saber.

En definitiva, los axiomas son postulados de carácter propositivo que debe ser considerado verdadero por sí mismo, es decir sin necesidad de comprobación. Su principal característica recae en que es un principio evidente e intuitivo. Estos son los fundamentos de cualquier ciencia, sin los que se desploma todo el castillo de naipes en el que está construida.

En el caso del geómetra griego, los axiomas que proponía y que han llegado hasta nuestros días, son los siguientes:

  • 1.er axioma: «Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une»
  • 2.º axioma: «Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección».
  • 3.er axioma: «Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección».
  • 4.º axioma: «Todos los ángulos rectos son iguales»
  • 5.º axioma: «Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.Este postulado es conocido con el nombre de postulado de las paralelas y también se enunció más tarde así: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela».

Destacados matemáticos se oponen a Euclides: el último de los 5 axiomas genera polémica

El último de los cinco axiomas que Euclides plasmó en sus Elementos ha generado complicaciones desde sus orígenes, no solamente por lo intrincado que puede llegar a parecer su planteamiento, si no que también porque se comenzaron a plantear nuevos postulados que se separaban, especialmente, de este último punto, dando origen a lo que conocemos como la geometría no euclidiana. Es el caso de trabajos realizados por matemáticos como Gauss, Bolyai o Lobachevski, quienes desarrollaron planos geométricos en base a otro tipo de propuestas a principios del siglo XIX.

Este último es el responsable del desarrollo de la geometría hiperbólica de Lobachevski, por eso su nombre, la que solo concreta los 4 primeros axiomas euclidianos, dejando de lado el más polémico que es sustituido que recién veía la luz. Este plantea, por ejemplo, que la suma de los ángulos de un triángulo siempre es menor a los 180º. Todo lo contrario al planteamiento euclidiano, que establecía que esta operación daba como restultado 180º exactos.

Edificación geométria
La propuesta euclidiana sobre rectas que jamás se intersectan es rebatida por la geometría no euclidiana.

El trabajo de Lobachevski, a pesar de ser considerada una teoría correcta desde el punto de vista de la disciplina matematica, al principio no recibió todo el reconocimiento que ha alcanzado en los siglos posteriores, especialmente porque, aunque no contuviera errores, para las personas de la época era vista como una teoría muy alejada del sentido común que reinaba. No obstante, se dio cuenta de que en el universo presenta una geometría hiperbólica, a gran escala, por supuesto.

Esto hizo que las teorías y el conocimiento de las matemáticas que había hasta ese momento cambiara radicalmente. Esto se transformó en una verdadera revolución matemática, obligando al reestudio y revisión de los conceptos que hasta ese momento eran considerados como absolutas verdades.

El principal problema con el quinto de los axiomas recae en que no es posible de verificarse a través de forma empírica, algo que resulta especialmente inconveniente si pensamos que por dos siglos siguientes, estudiosos y estudiosas de los números lo asumieron como verdad única e incuestionable. En definitiva, la única forma de describir la realidad (o el espacio real, específicamente), hasta ese momento, era a través de los planteamientos geométricos euclidianos.

El surgimiento de la geometría no euclidiana

Las primeras propuestas de una geometría alternativa a la de Euclides proviene de un trabajo que buscaba, irónicamente, afianzar la validez de los postulados del matemático griego. Se trata del libro Euclides libre de todo defecto que fue publicado en 1733 por el italiano jesuita Giovanni Gerolamo Saccheri.

Con el objetivo de entregar mayor solidez al pensamiento euclidiano, Gerolamo Saccheri intentó reducir estos planteamientos de tal manera que no fuera posible desarrollar métodos alternativos, una tarea que claramente no logró.

Cielo estrellado
De acuerdo a los planteamientos no euclidianos, el universo está compuesto por una geometría hiperbólica.

Es así como debió transcurrir poco más de un siglo desde la publicación del italiano para que recién surgiera el primer matemático que buscaba de forma consciente el desarrollo de una geometría no euclidiana. Se trata del ya mencionado Lobatchevski, quien hizo públicos sus planteamientos en el Kazan Bulletin el año 1829, dando a conocer la geometría hiperbólica sobre la que te hablamos anteriormente, conocida también como geometría de Bolyai-Lobatchevski.

Pero esta no se hizo muy conocida, si no hasta que Friedrich Bernhard Riemann se preocupó de darle visibilidad, basándose en postulado de carácter abstracto acerca de las superficies curvas, sin lugar a la existencia de líneas paralelas, ya que, de acuerdo a este matemático, todas las rectas se intersectan.

El algoritmo de Euclides o el máximo común divisor

El algoritmo euclidiano tambien se enseña en las clases de matemáticas; seguro que te suena el famoso M.C.D. También se conoce como el máximo común denominador, el MCD es el divisor común más grande de dos números enteros.

Este algoritmo se trata de una fórmula eficiente que proviene de la antigüedad cuyo fin es encontrar el MCD y se puede aplicar tanto en la teoría de los números, el álgebra, la ciencias de la comunicación, como en muchas otras áreas relacionadas con el ámbito de la matemática.

El máximo común divisor de las matemáticas.
Los temas de las clases de matemáticas también recibieron la influencia de Euclides.

Se trata de una unidad elemental de la aritmética, al igual que la división euclidiana.

Para hallarlo, es necesario enumerar todos los divisores de los dos números que desees. ¿Quieres hallar el MCD de 10 y 26?

  • 10: 1, 2, 5, 10.
  • 26: 1, 2, 4, 9, 13.

El máximo común divisor es el número 2.

Para evitar tener que hacer la lista completa de divisores para cada número, el algoritmo de Euclides consiste en realizar una serie de divisiones euclidianas.

Por lo tanto, es suficiente dividir el número más grande entre el más pequeño y luego hacer la división hasta que se obtenga un resto igual a 0 o un resto nulo. En una división de A entre B, continuamos con una división de B entre R (el resto de la primera división), y así sucesivamente.

El algoritmo de Euclides se explica en el libro 7 de los Elementos, donde presenta por primera vez su investigación como un problema geométrico. Posteriormente, busca encontrar una unidad de medida para dos segmentos. Para ello, decide restar el segmento más pequeño al más grande y continuar hasta encontrar la medida ideal.

¡En la actualidad, este método constituye la base de cualquier división y el quebradero de cabeza de muchos estudiantes de primaria!

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Alexandre