Los números de Fibonacci forman una de las sucesiones más conocidas de las matemáticas. Su nombre proviene de Leonardo de Pisa, un matemático italiano conocido como Fibonacci, quien difundió este patrón numérico en Europa a través de su obra Liber Abaci.
¿Qué tienen en común estos números? Mira bien y verás que cada término se obtiene sumando los dos anteriores.
¡Seguro que no lo habías notado! Pero tranquilo, que en Superprof Chile hemos preparado esta guía completa donde aprenderás qué es la sucesión numérica y la espiral de Fibonacci, cómo calcular sus términos, cuáles son sus principales propiedades matemáticas y las relaciones matemáticas que hacen tan interesante esta sucesión...
¿Qué son los números de Fibonacci?
Los números de Fibonacci son los términos de una sucesión numérica en la que cada número, a partir de cierto punto, se obtiene sumando los dos que lo preceden. Esta regla permite construir una secuencia ordenada que continúa sin un último término.
A diferencia de otras sucesiones que avanzan mediante una suma o multiplicación constante, la sucesión de Fibonacci depende de los dos valores anteriores. Por eso, para encontrar un término nuevo, necesitas conocer los dos que lo anteceden.
La sucesión de Fibonacci paso a paso
Una de las formas más habituales de presentar la sucesión de Fibonacci es:
Pero observa cómo se construye:
- 0 + 1 = 1.
- 1 + 1 = 2.
- 1 + 2 = 3.
- 2 + 3 = 5.
- 3 + 5 = 8.
- 5 + 8 = 13.
- 8 + 13 = 21.
- 13 + 21 = 34.
- 21 + 34 = 55.
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Como puedes ver, los términos aumentan siguiendo una regla constante, aunque las diferencias entre ellos no son siempre iguales. Por ejemplo, después del 5 viene el 8 porque ambos términos anteriores son 2 y 3, cuya suma es 5 y para obtener el siguiente número, sumamos 3 + 5 = 8.
¿Ya lo vas entendiendo? Y seguro que te has hecho esta pregunta:
¿Por qué aparece dos veces el número 1?
El número 1 aparece dos veces porque se obtiene al sumar los dos primeros términos: 0 + 1 = 1. A partir de ahí, la regla vuelve a producir otro 1 al sumar 1 + 1.
También es frecuente encontrar la sucesión escrita de esta manera:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Ambas presentaciones son válidas. La diferencia está en el punto de partida: algunas definiciones incluyen el 0 como primer término, mientras que otras comienzan directamente con dos unos. Lo importante es mantener los valores iniciales elegidos y aplicar correctamente la regla de suma.
¿Cómo calcular un número de Fibonacci?
Para calcular un número de Fibonacci, identifica los dos términos anteriores y súmalos. Si quieres continuar la secuencia, no necesitas memorizar todos sus valores: basta con conocer los dos últimos números disponibles.
Por ejemplo, si tienes los términos 8 y 13, el siguiente será 21, ya que 8 + 13 = 21.
Si después quieres calcular el término siguiente, sumarás 13 + 21 = 34.
La regla matemática de Fibonacci
La regla general de la sucesión se expresa mediante la siguiente fórmula:
F(n) = F(n−1) + F(n−2)
¿Qué significa cada elemento?
- F(n): el término que quieres calcular.
- F(n−1): el término inmediatamente anterior.
- F(n−2): el término que está dos posiciones antes.
Si utilizamos la versión que comienza en 0, los valores iniciales son F(0) = 0 y F(1) = 1. La fórmula se aplica desde el segundo índice en adelante, es decir, para calcular F(n) cuando n es igual o superior a 2.
Esta expresión se conoce como una relación de recurrencia, porque cada término depende de valores anteriores de la misma sucesión.
Para aplicar esta ecuación, se establecen dos valores iniciales:
De esta manera, cada resultado depende de los dos valores precedentes.
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Esta relación recibe el nombre de recurrencia y constituye la base matemática de la secuencia. También existen otras expresiones para obtener sus términos, como la fórmula de Binet, que permite calcularlos directamente utilizando raíces y el valor conocido como phi (φ).
Ejemplo para encontrar el siguiente número
Imagina que necesitas completar la siguiente secuencia:
1, 1, 2, 3, 5, 8, ¿?
Para resolverlo, identifica los dos últimos términos conocidos: 5 y 8. Después, realiza la suma:
5 + 8 = 13
Por lo tanto, el siguiente término es 13. Si quieres continuar, debes sumar 8 + 13 = 21.
Este procedimiento demuestra que, para calcular nuevos valores, solo necesitas conservar los dos últimos números de la sucesión. Así puedes construir una secuencia mucho más extensa siguiendo una única regla.
¿Qué tiene que ver todo esto con la vida cotidiana?
¡Tiene mucho que ver! Y es que la proporción áurea y la sucesión de Fibonacci están más presentes en la vida cotidiana de lo que podríamos imaginar...
Pero antes:
¿Quién fue Fibonacci?
Fibonacci fue el nombre con el que se conoció a Leonardo de Pisa, un matemático italiano de la Edad Media que contribuyó a difundir los métodos de cálculo y el sistema de numeración indoarábigo en Europa occidental.
Leonardo de Pisa y el Liber Abaci
Leonardo de Pisa vivió aproximadamente entre los siglos XII y XIII. También fue conocido como Leonardo Pisano y su nombre Fibonacci se relaciona tradicionalmente con la expresión filius Bonacci.
En 1202 publicó Liber Abaci, una obra que explicaba diferentes procedimientos matemáticos y sus aplicaciones en actividades comerciales, como los cálculos de cantidades, intercambios y operaciones numéricas.
Su trabajo fue importante para la difusión de los numerales indoarábigos, es decir, los símbolos del 0 al 9 que utilizamos actualmente. También presentó problemas matemáticos que permitían estudiar patrones y resolver situaciones mediante operaciones aritméticas.
Aunque su nombre quedó asociado a esta sucesión, otros matemáticos de la India ya habían estudiado patrones numéricos similares siglos antes.
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El problema de los conejos
Uno de los ejercicios más conocidos del Liber Abaci plantea una situación hipotética: calcular cuántas parejas de conejos habría después de un año si una pareja inicial comenzara a reproducirse bajo determinadas condiciones.
El problema supone que cada pareja alcanza la edad reproductiva después de un mes, que cada pareja adulta produce una nueva pareja mensualmente y que ninguna muere.
De acuerdo con estas condiciones, la cantidad de parejas evoluciona de la siguiente manera:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
El resultado de cada mes depende de las parejas existentes en los dos periodos anteriores. Así, el problema de los conejos permite explicar de forma práctica cómo funciona la sucesión y cómo una situación hipotética puede convertirse en un modelo matemático.
¿Qué propiedades tienen los números de Fibonacci?
Además de su regla de formación, esta secuencia presenta relaciones interesantes entre sus términos. Algunas pueden comprobarse mediante operaciones sencillas y permiten comprender mejor sus propiedades matemáticas.
La suma de términos consecutivos
La primera propiedad es que la suma de dos términos consecutivos siempre produce el siguiente valor de la sucesión. Por ejemplo:
- 3 + 5 = 8.
- 5 + 8 = 13.
- 8 + 13 = 21.
También existe otra relación: la suma de los primeros términos, comenzando por F(0), equivale al término siguiente menos una unidad.
Por ejemplo:
0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12
El resultado corresponde a F(7) − 1, ya que F(7) = 13. Esta propiedad demuestra que los valores de la secuencia mantienen relaciones que van más allá de su regla de suma inicial.
La relación entre dos números consecutivos
Otra propiedad aparece al dividir un término entre el anterior. Observa estos ejemplos:
- 8 ÷ 5 = 1,6.
- 13 ÷ 8 = 1,625.
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615.
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619.
Los resultados se aproximan progresivamente a 1,618, valor conocido como phi (φ), relacionado con la proporción áurea o divina proporción.
Esta relación también se estudia en geometría y diseño, donde aparece vinculada a determinadas proporciones, construcciones geométricas y representaciones como la espiral áurea. Asimismo, existen conexiones matemáticas con el triángulo de Pascal, los cuadrados de los términos y otras identidades.
No obstante, estas relaciones tienen explicaciones y desarrollos propios que conviene estudiar por separado. Pues aunque sea difícil de imagina la serie de Fibonacci está en la naturaleza
¿Para qué sirve la sucesión de Fibonacci?
La sucesión de Fibonacci es una herramienta útil para comprender patrones, desarrollar el razonamiento lógico y estudiar relaciones entre números. Su importancia no se limita a los ejercicios escolares, pues también aparece en determinados procedimientos matemáticos e informáticos.
Su importancia en las matemáticas y la informática
Permite estudiar sucesiones, relaciones de recurrencia, patrones numéricos y propiedades que ayudan a desarrollar el razonamiento lógico.
Se utiliza para explicar la recursividad, la programación dinámica y la eficiencia de algoritmos mediante cálculos sucesivos.
Ayuda a estudiar proporciones, construcciones geométricas y relaciones con la proporción áurea en composiciones visuales.
Se aplica en el análisis técnico del trading mediante los retrocesos de Fibonacci: identifica posibles niveles de soporte y resistencia en los gráficos de precios.
La respuesta se encuentra en la asombrosa presencia de la serie de Fibonacci en la naturaleza y
Fibonacci más allá de las matemáticas
Los patrones asociados a esta sucesión también se estudian en naturaleza, arte, arquitectura y diseño. Incluso existen aplicaciones en el análisis técnico del trading, donde se utilizan los llamados retrocesos de Fibonacci para identificar posibles niveles de soporte y resistencia en un gráfico de precios.
Estas referencias muestran la diversidad de contextos en los que aparece el concepto, aunque cada campo utiliza herramientas e interpretaciones diferentes. Y es que aunque sea difícil de creer, la secuencia Fibonacci está en la naturaleza y guarda estrecha relación con la proporción áurea.
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Fibonacci: una sucesión sencilla con muchas propiedades
La sucesión de Fibonacci demuestra cómo una regla matemática sencilla puede generar patrones y relaciones numéricas interesantes. Cada término se obtiene sumando los dos anteriores, por lo que basta con conocer los valores iniciales para continuar calculando nuevos resultados.
Comprender su fórmula, su origen y sus principales propiedades permite construir una base sólida para estudiar otros conceptos de matemáticas. Desde las relaciones entre términos consecutivos hasta su conexión con la proporción áurea, esta secuencia ofrece distintas oportunidades para explorar el razonamiento matemático.
Síntesis del artículo
¿Ahora lo ves? Los números Fibonacci son tan importantes que a través de su fórmula y sus propiedades, es posible comprender cómo se construyen estos patrones numéricos que como ahora sabes, puede comenzar con 0 y 1 o con dos unos, según la convención utilizada.
Por eso, en Superprof Chile te invitamos a descubrir cómo calcular sus términos y explorar sus relaciones con las matemáticas, la informática, la geometría y el diseño.
Y es que comprender esta secuencia es una excelente oportunidad para desarrollar el razonamiento lógico y conocer conceptos matemáticos presentes en las matemáticas, informática y distintos campos de estudio.
Referencias
- Recurso que muestra la construcción de la sucesión de Fibonacci y algunas aplicaciones. EducarChile https://centroderecursos.educarchile.cl/items/d6be2223-10bd-4162-aa8b-f73cb94a40cb/full
- Qué es la serie de Fibonacci y qué tiene que ver con el número áureo. BBC https://www.bbc.com/mundo/noticias-56691239
- El Número Áureo y la Sucesión de Fibonacci. Revista Digital Acta https://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/119001.pdf
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