En el universo tan matemático que nos rodea y donde funcionamos y existimos, dos conceptos destacan como verdaderos protagonistas de una danza mística:
- La Proporción Áurea (o razón áurea) y
- La Secuencia de Fibonacci
Estos dos conceptos tan importantes para la matemática, descubiertos y redescubiertos a lo largo de la historia, revelan una conexión intrínseca que va más allá de la simple casualidad.
La razón aurea, representada por el enigmático número phi (φ), y la secuencia de Fibonacci, una sucesión progresiva de números que danzan en una coreografía matemática.
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En esta exploración, desentrañaremos los secretos de esta conexión, descubriendo cómo Phi se manifiesta en los términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci.
Bienvenidos a un viaje donde los números bailan y la geometría se convierte en poesía.
La Secuencia de Fibonacci: una danza matemática
La secuencia de Fibonacci es una sucesión infinita de números que comienza con 0 y 1, y cada número subsiguiente es la suma de los dos anteriores.
La secuencia se representa como 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 y así sucesivamente. Formalmente, se puede definir recursivamente como:
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Donde F(n) representa el n-ésimo término de la secuencia.
Esta secuencia, descubierta por Leonardo de Pisa (o Fibonacci) mientras exploraba el crecimiento de una población de conejos, tiene fascinantes propiedades matemáticas y está intrínsecamente vinculada a la razón áurea.
La proporción aurea
El número aurea, (o divina proporción) es una relación matemática especial que se denota por la letra griega phi (φ).
El vínculo se presenta cuando la proporción de dos segmentos es igual a la proporción del segmento más largo respecto al más corto.
Esta relación es aproximadamente 1.61803.
En términos matemáticos, si tienes dos cantidades, a y b, el número áureo se expresa como:
(a + b) / a = a / b
Esta proporción ha fascinado a matemáticos, artistas y arquitectos a lo largo de la historia, y se manifiesta en diversas formas, desde la arquitectura antigua hasta las creaciones artísticas contemporáneas.
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Fibonacci proporción aurea y su origen
El número de áurea ha sido conocido y utilizado desde la antigüedad.
Es una labor inútil y absurda tratar de atribuirle su concepto a un único descubridor.
El número áurea se encuentra presente en diversas culturas y épocas, y su reconocimiento se remonta a la Grecia antigua.
Sin embargo, el término:
- “Divina proporción" o
- "Proporción áurea"
Se popularizó en el Renacimiento, especialmente gracias al matemático italiano Luca Pacioli.
Este matemático publicó, en 1509, un libro titulado "De divina proportione" (La divina proporción), ilustrado por el célebre artista Leonardo da Vinci.
Aunque Pacioli no descubrió la razón áurea, contribuyó significativamente a su difusión y comprensión en la cultura occidental.
La Proporción Áurea: Un Legado Milenario
Esta razón ha dejado una huella indeleble en la historia del:
- Arte
- La arquitectura
- Las matemáticas
En la antigua Grecia matemáticos como Euclides exploraron sus propiedades.
Como hemos dicho, este número especial, representado por la letra griega:
Phi (φ) =1.61803 (Aprox)
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¿Qué relación tiene la proporción áurea con la sucesión de Fibonacci?
La secuencia de Fibonacci tiene mucha relación con el número de oro.
Hay registros de la razón áurea desde la antigüedad, mucho antes de la época de Fibonacci.
Esta razón , es un número misterioso representado por la letra griega phi (φ) y aproximadamente igual a 1.61803, ha capturado la imaginación de matemáticos y artistas a lo largo de la historia.
Por otro lado, la secuencia de Fibonacci, una sucesión de números que comienza con 0 y 1, donde cada número posterior es la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...), revela una pauta intrigante en su crecimiento.
Pero ¿Cómo se entrelazan estos dos conceptos?
Ejemplos de su vínculo matemático
La razón áurea se manifiesta cuando la proporción de dos segmentos es igual a la proporción del segmento más largo respecto al más corto. Esto se puede expresar como
Rectángulos Dorados
Los rectángulos dorados se crean utilizando dimensiones de la secuencia de Fibonacci.
Cada número en la secuencia representa la longitud de un lado del rectángulo.
Ejemplo:
Si tomamos los números 13 y 21 de la secuencia, podemos construir un rectángulo dorado con lados de 13 y 21 unidades.
Espirales Doradas
Al trazar arcos que conectan las esquinas cuadradas de los rectángulos dorados sucesivos, se forma una espiral dorada.
Esta espiral aparece en innumerables fenómenos naturales, desde la disposición de las semillas en un girasol hasta la espiral de una galaxia.
Entendiendo la Relación: Ejemplos Prácticos
Arquitectura Antigua y Renacentista
La Gran Pirámide de Giza tiene dimensiones que siguen esta proporción.
Se cree que Fidias, el escultor griego, aplicó phi en el diseño del Partenón.
Arte Renacentista y Moderno
Obras maestras como:
- "La última cena" de Da Vinci y
- "La persistencia de la memoria" de Dalí
También se encuentra.
Incluso el logo de Twitter (Hoy: X) incorpora esta proporción.
Naturaleza y Biología
El número de pétalos en muchas flores sigue la secuencia de Fibonacci, mientras que las espirales en caracoles y piñas también se rigen por esta secuencia y generan la razón áurea.
¿Quieres saber más sobre la sucesión de Fibonacci? en el enlace todo sobre la sucesión de Fibonacci en la vida real.
Un Paseo por la Historia Matemática
En la antigua Grecia, matemáticos como Euclides exploraron la proporción áurea.
En el Renacimiento, el matemático Luca Pacioli la popularizó en su obra ilustrada por Da Vinci.
Hoy, la proporción áurea sigue siendo un tema fascinante y atemporal.
La relación entre la razón áurea y la secuencia de Fibonacci es una sinfonía matemática que resuena en:
- El arte
- La arquitectura
- La naturaleza
Desde los antiguos maestros hasta los diseñadores modernos, la danza de estos números ha dejado una huella indeleble en la creación humana.
Al explorar esta conexión, descubrimos un ballet matemático que trasciende el tiempo y que, en cada espiral y rectángulo, revela la armonía subyacente en la estructura misma del universo.
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¿Qué es la proporción áurea de Fibonacci?
La afirmación la “proporción aurea de Fibonacci” puede ser un poco engañosa.
Esta proporción surge de la relación entre dos segmentos cuando la proporción del segmento más largo respecto al más corto es igual a la proporción del segmento total respecto al más largo.
Sin embargo, no se le puede atribuir a Fibonnuci su descubrimiento, teniendo en cuenta que la proporción aurea se encuentra ya plasmada en la gran pirámide de Giza.
Historia de la proporción aurea
Algunos investigadores sugieren que la razón áurea podría haber aparecido en estelas de Babilonia y Asiria alrededor del 2000 a.C.
Sin embargo, no se puede asegurar, debido a la falta de documentación histórica.
Mario Livio concluye que es improbable que los babilonios hayan descubierto conscientemente el número áureo.
En la antigüedad, Euclides (c. 300 a.C.-265 a.C.) fue el primero en realizar un estudio formal del número áureo.
Este pensador griego lo define como la sección de una recta en extrema y media razón.
Euclides demostró que este número es irracional.
Platón (c. 428-347 a.C.) podría haber estudiado el número áureo, pero existe una gran controversia sobre si realmente desarrolló teoremas relacionados con él.
En la Edad Moderna -como hemos visto- Luca Pacioli, un matemático y teólogo italiano, publicó "De Divina Proportione" en 1509, asociando el número áureo con lo divino y comparándolo con la Trinidad cristiana.
En 1525, Alberto Durero describió la "espiral de Durero", basada en la sección áurea, en su obra "Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas".
Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo, se refirió al número áureo en términos grandiosos al desarrollar un modelo platónico del sistema solar.
El adjetivo "áureo" para referirse a este número fue utilizado por primera vez en 1835 por Martin Ohm, un matemático alemán.
Aunque el símbolo original era τ (tau), la moderna denominación Φ o φ (phi) se adoptó en 1900 en honor a Fidias, el escultor griego, por Mark Barr.
Este cambio en la notación refleja la asociación del número áureo con la estética y la proporción en el arte y la naturaleza.
La proporción aurea de Fibonacci en la naturaleza
En la naturaleza, la proporción áurea y los números de Fibonacci están presentes en varios elementos:
- Cálculos de Fibonacci
- Distribución de pétalos y hojas
- Relación en la anatomía humana y animal
- Cantidad de espirales en objetos orgánicos
- Hélice ascendente en plantas
- Influencia en la filotaxis y ramificación de plantas
- Espirales en organismos vivos
Cálculos de Fibonacci
Leonardo de Pisa (Fibonacci) utilizó su famosa sucesión para resolver problemas matemáticos, como calcular el número de pares de conejos en meses posteriores a su reproducción.
Distribución de pétalos y hojas
La Ley de Ludwig describe cómo la razón áurea está relacionada con la disposición de pétalos en flores y la distribución de hojas en un tallo, siguiendo la Sucesión de Fibonacci.
Relación en la anatomía humana y animal
La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, en comparación con su altura total, sigue la razón áurea.
Además, la estructura de las espirales en caracoles o cefalópodos exhibe proporciones áureas.
Cantidad de espirales en objetos orgánicos
En piñas, girasoles y otras estructuras orgánicas, la cantidad de espirales sigue números de Fibonacci, y el cociente de estos números tiende al número áureo.
Hélice ascendente en plantas
Para maximizar la exposición solar, las hojas de algunas plantas crecen en hélice ascendente, siguiendo un ángulo constante relacionado con la proporción áurea.
Influencia en la filotaxis y ramificación de plantas
La disposición de hojas en una planta (filotaxis) y la ramificación alrededor del tronco siguen patrones influenciados por la razón áurea.
Espirales en organismos vivos
Elementos como las espirales en girasoles y piñas, así como en cristales de pirita dodecaédricos pentagonales, están relacionados con la sucesión de Fibonacci y la razón áurea.
Estos ejemplos destacan la presencia recurrente de la razón áurea y la sucesión de Fibonacci en la naturaleza, demostrando su papel en la armonía y el diseño de los organismos vivos.
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