Si te digo ¿qué es un número perfecto, podrías darme una respuesta?
Para muchas personas, este grupo de números es muy desconocido.
De hecho, muchas personas no sabrían qué responder ante la pregunta que planteamos en este espacio.
Los números perfectos son aquellos números enteros positivos, los que al sumar todos sus divisores propios, dan el mismo número.
Pongamos de inmediato un ejemplo para que lo puedas entender mejor.
Ejemplo 1
Se dice que el 6 es un número perfecto.
Pero ¿por qué?
Verifiquemos cuáles son los divisores del seis (6).
- El mismo 6
- Los divisores del número 6 son: 1, 2, 3
(¿Por qué 1, 2 y 3 son divisores de 6? Porque el 1, el 2 y el 3 pueden dividir al 6 sin dejar decimales)
Ahora para que el 6 sea un número perfecto, la suma de sus divisores, o sea el 1, el 2 y el 3, tiene que dar el mismo número, o sea 6.
Verifiquemos:
- 1 + 2 + 3= 6
El número 6 cumple con la definición, por ende esta cifra sí es perfecta.
Recopilando, podríamos decir que este tipo de números deben ser:
- Enteros
- Positivos
- La suma de sus divisores resulte en el mismo número
Ejemplo 2
El siguiente número es el 28.
Revisemos cuales son los divisores de esta cifra.
Los divisores del 28 son:
- 1, 2, 4, 7, 14
Ahora para que el 28 sea un número perfecto, la suma de sus divisores, o sea el 1, 2, 4, 7, 14, debe dar como resultado el mismo número de origen.
Comprobémoslo:
- 1+2+4+7+14=28
El número 28, entonces, sí es una cifra perfecta.
Podemos seguir dando varios ejemplos de números perfectos, pero detengámonos aquí, y revisemos otras dimensiones de este fascinante grupo de números.
¿Cuáles son los 5 primeros números perfectos?
Los cinco números perfectos son:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 33,550,336
Estos números son muy importantes.
¿Por qué? Porque éstos estudiaron los antiguos griegos para poder llegar a diseñar la fórmula que permite determinar cuáles son números perfectos y cuáles no.
Euclides, un gran matemático de Alejandría (hoy: Grecia), descubrió, por allá por el año 300 antes de cristo, que los primeros números perfectos podrían determinarse por la siguiente fórmula. Si necesitas orientación adicional, un profesor matemática puede ayudarte a comprender estos conceptos.
En esta formula:
- N: Representa al número perfecto.
- P: Es un número primo.
- 2p−1: Número primo, pero “primo de Mersenne”
No te preocupes, sabemos que es un poco complejo de entender, pero sigue leyendo y te explicaremos esta fórmula de la forma más sencilla posible.
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Solución (ejemplo 1)
Lo primero que tienes que hacer es escoger un número primo (Aquellos que son divisibles por 1 y por si mismos) y reemplazarlo en P.
Elijamos el 3.
P=3
Entonces, si reemplazamos la P en la fórmula quedaría:
N=23−1 x (23−1)
N=22 x (8-1)
N=4 x 7
N=28
El 28 es un número perfecto.
¿Se entiende? ¿Sí?, ¿No?
Revisemos otro ejemplo para que quede aún más claro.
Solución (ejemplo 2)
Elijamos P como número primo 5.
P=5
Reemplacemos en la fórmula:
N=25−1 x (25−1)
N=24 x (32-1)
N=16 x 31
N= 496
¿El número 496 es perfecto?
Sí. El 496 es el tercero en la lista de los perfectos.
Más adelante veremos también otro tipo de números como los números irracionales y los números trascendentes.
Solución (ejemplo 3)
Ahora elijamos otro número primo para que reemplace a P.
En este caso, escogeremos el 7.
Recordemos, entonces, la fórmula para generar un número perfecto:
N=2p−1 x (2p−1)
Ahora reemplacemos la P por el número 7:
N=27−1 x (27−1)
Ahora resolvamos:
N=27−1 x (27−1)
N=26 x (128-1)
N=64 x 127
N=8128
La cifra 8128 sí es un número perfecto porque la suma de sus divisores propios da como resultado 8128.
¿Qué importancia tienen los números perfectos del 1 al 100?
El universo posee un gran misterio.
Formas, figuras, secuencias, funcionamientos, lógicas; de alguna forma este secreto siempre está relacionado con la matemática y los números.
Mientras más se investigan los números perfectos, más información útil y sorprendente se desprende de sus patrones.
La relación de los números perfectos con los números primos es bastante estrecha.
Para obtener un número perfecto hay que, inevitablemente, usar números primos.
Y dentro de esta categoría de números, los más hermanos a los perfectos son los números primos de Mersenne.
La utilización de los números primos de Mersenne permite encontrar a los números perfectos.
Si utilizamos la fórmula, un número primo de Mersenne incluido, podemos determinar todos los números perfectos del 1 al 100.
Revisemos la fórmula:
- Número perfecto=2p−1×(2p−1)
- Número primo de Mersenne: (2p−1)
Números perfectos impares
¿Sabías que no se sabe si existen números perfectos impares?
A este problema se la conoce como La conjetura de Euler.
Hasta la época ningún matemático ha podido determinar la existencia de algún número perfecto impar o, dicho en otras palabras, nadie ha podido demostrar la no existencia de números perfectos impares.
Descubre que son y cómo se resuelven las ecuaciones diofánticas.
Poder demostrar, o dar solución a la conjetura de Euler, les permitirá a los expertos entender la asimetría que se desprende de esta resolución y, de esta forma, poder comprender mejor los números perfectos, los primos, y toda su implicancia en múltiples problemas y conceptos matemáticos.
Si hablamos de la relación que existe entre los números perfectos y otros conceptos matemáticos, podría encontrar que estas cifras influyen o tienen relación con:
- La teoría de grafos
- La teoría de grupos
- La teoría de números algebraicos
Mientras más se sepa de los números perfectos, más se podrá seguir avanzando en el entendimiento de las matemáticas y su relación con el universo.
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Seguimos revisando a continuación más ejemplos de números perfectos.
¿Por qué el 73 es el número perfecto?
Si nos fijamos bien, el 73 no es un número perfecto.
Recordemos que, si sumamos todos los divisores propios de un número perfecto daría como resultado el mismo número en cuestión.
¿Eso ocurre con el 73?
Lo primero que hay que decir es que esta cifra, el 73, es un número primo.
Esto quiere decir que sólo se puede dividir por sí mismo y por 1.
Los divisores del 73 son:
- 73 y 1
Y si hacemos la suma de sus divisores no da como resultado el mismo número, por ende, el 73 no es un número perfecto.
- 73 + 1= 74
Siempre que estudies los grupos de números debes saber muy bien sus definiciones.
Si te riges utilizando las definiciones podrás identificar más fácilmente cada cifra.
¿Cuáles son los números perfectos del 1 al 1000?
Aunque se podría creer que, en este rango de números, o sea del 1 al 1000, podrían existir una gran cantidad de números perfectos, lo cierto es que encontramos sólo tres.
Estos son:
- 6
- 28
- 496
Estas primeras cifras denotan una marcada simpleza.
Simpleza que contrasta mucho con la exuberancia y complejidad de los siguientes números perfectos en la lista.
Hay que decir, que existe una gran fascinación por este grupo de números.
Los números perfectos llaman la atención y fascinan; pero esta fascinación se produce, más que nada, por lo interesante que resultan este conjunto para los matemáticos.
Este interés, si le hacemos caso a la experiencia matemática a través de la historia, siempre ha conllevado a nuevos descubrimientos.
Las maravillas están por venir y la misma matemática está avisando y diciendo “mírenme”, “no me pierdan la mirada” porque mientras más me logren entender, más maravillas revelaré de la vida y del universo.
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